题文

如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）． （1）求直线BD和抛物线的解析式． （2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标． （3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3，抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3； （2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）； （3）在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

试题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式； （2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个； （3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解． 试题解析：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣1，0），B（0，3）； ∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）． 设直线BD的解析式为：y=kx+b， ∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上， ∴， 解得k=﹣1，b=3， ∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3． 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， ∵点B（0，3）在抛物线上， ∴3=a×（﹣1）×（﹣3）， 解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3； （2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）． 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1， ∴M（2，1）． 设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MF=1， ∴△MCD为等腰直角三角形． ∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似， ∴△BND为等腰直角三角形． 如答图1所示： （I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O， ∴N1（0，0）； （II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上， ∵OB=OD=ON2=3， ∴N2（﹣3，0）； （III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上， ∵OB=OD=ON3=3， ∴N3（0，﹣3）． ∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）； （3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）． （I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示： 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3． S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）?m﹣×3×3﹣（m﹣3）?n=6， 化简得：m+n="7" ①， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3， 代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0， 解得：m1=4，m2=﹣1， ∴n1=3，n2=8， ∴P1（4，3），P2（﹣1，8）； （II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示： 过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n． S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）?（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）?m=6， 化简得：m+n=﹣1 ②， ∵P（m，n）在抛物线上， ∴n=m2﹣4m+3， 代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解． 故此时点P不存在． 综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．

据专家权威分析，试题“如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。