题文

如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，B，顶点为C，连接CB并延长交x轴于点E，点D与点B关于抛物线的对称轴MN对称. （1）求抛物线的解析式及顶点C的坐标； （2）求证：四边形ABCD是直角梯形.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y＝－x2－2x＋3  （－1，4）  （2）见解析

（1）解：∵y＝x＋3与坐标轴分别交与A，B两点，∴A点坐标（－3，0）、B点坐标（0，3）. ∵抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A，B两点， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为：y＝－x2－2x＋3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4， ∴顶点C的坐标为（－1，4）. （2）证明：∵B，D关于MN对称，C（－1，4），B（0，3）， ∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB. 又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°. ∵B，D关于MN对称，∴BD⊥MN. 又∵MN⊥x轴，∴BD∥x轴. ∴∠DBA＝∠BAO＝45°. ∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 把B（0，3），C（－1，4）代入得， 解得 ∴y＝－x＋3. 当y＝0时，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）. ∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°. ∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°. ∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°. ∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°. ∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°. ∵B，D关于MN对称， ∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB. 又∵AD与BC不平行，∴四边形ABCD是梯形. ∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是直角梯形.

据专家权威分析，试题“如图，直线y＝x＋3与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2＋bx－3a经..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
  
  二次函数的一般形式的结构特征：
  ①函数的关系式是整式；
  ②自变量的最高次数是2；
  ③二次项系数不等于零。

• 二次函数的判定：
  二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
  当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
  判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。

考点名称：二次函数的图像

• 二次函数的图像
  是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
  抛物线的主要特征：
  ①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；
  ②有对称轴；
  ③有顶点；
  ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

• 二次函数图像性质：
  轴对称：
  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a
  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
  特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。