题文

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)． (1)当α＝60°时，求CE的长； (2)当60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）5  （2）①存在k＝3  ②

分析：(1)利用60°角的正弦值列式计算即可得解； (2)①连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明△AFG和△CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝GF，AG＝CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝GF，再根据AB、BC的长度可得AG＝AF，然后利用等边对等角的性质可得∠AEF＝∠G＝∠AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EFC＝2∠G，然后推出∠EFD＝3∠AEF，从而得解； ②设BE＝x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答． 解：(1)∵α＝60°，BC＝10，∴sinα＝， 即sin60°＝＝，解得CE＝5； (2)①存在k＝3，使得∠EFD＝k∠AEF. 理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，如图所示，∵F为AD的中点， ∴AF＝FD， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠G＝∠DCF，在△AFG和△DFC中， ， ∴△AFG≌△DFC(AAS)，∴CF＝GF，AG＝DC， ∵CE⊥AB， ∴EF＝GF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠AEF＝∠G， ∵AB＝5，BC＝10，点F是AD的中点， ∴AG＝5，AF＝AD＝BC＝5， ∴AG＝AF，∴∠AFG＝∠G， 在△EFG中，∠EFC＝∠AEF＋∠G＝2∠AEF， 又∵∠CFD＝∠AFG(对顶角相等)， ∴∠CFD＝∠AEF， ∴∠EFD＝∠EFC＋∠CFD＝2∠AEF＋∠AEF＝3∠AEF， 因此，存在正整数k＝3，使得∠EFD＝3∠AEF； ②设BE＝x，∵AG＝CD＝AB＝5， ∴EG＝AE＋AG＝5－x＋5＝10－x， 在Rt△BCE中，CE2＝BC2－BE2＝100－x2， 在Rt△CEG中，CG2＝EG2＋CE2＝(10－x)2＋100－x2＝200－20x， ∵CF＝GF(①中已证)， ∴CF2＝＝CG2＝(200－20x)＝50－5x， ∴CE2－CF2＝100－x2－50＋5x ＝－x2＋5x＋50＝－＋50＋， ∴当x＝，即点E是AB的中点时， CE2－CF2取最大值， 此时，EG＝10－x＝10－＝， CE＝＝＝， 所以，tan∠DCF＝tan∠G＝＝＝.

据专家权威分析，试题“如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;