题文

在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． (1)求点C的坐标； (2)若抛物线y＝－x2＋ax＋4经过点C． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

C的坐标为（3，﹣1）； （2）①抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．

试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标； （2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式； ②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标． 试题解析：（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°， ∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2）， ∴OA=CD=1，OB=AD=2， ∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点， ∴C的坐标为（3，﹣1）； （2）①∵抛物线y=﹣x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1）， ∴把C的坐标代入得：﹣1=﹣+3a+2，解得：a=， 则抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2； ②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形， （i）若以AB为直角边，点A为直角顶点， 则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示， ∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°， ∴△AMP1≌△ADC， ∴AM=AD=2，P1M=CD=1， ∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣x2+x+2上； （ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB， 得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图， 同理可证△BP2N≌△ABO， ∴NP2=OB=2，BN=OA=1， ∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣x2+x+2上； （iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB， 得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图， 同理可证△BP3H≌△BAO， ∴HP3=OB=2，BH=OA=1， ∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣x2+x+2上； 则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．

据专家权威分析，试题“在如图的直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(0，－4)，将线段AB绕点A按..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用