题文

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C的坐标为（0，-），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点. （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得?PBC的面积最大？若存在，求出?PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当?BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M、N两点间的距离为MN=.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.

试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标； （2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值； （3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值． 试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1）， ∵m≠0， ∴当y=0时，x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）； （2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得： ，解得， 故C1：y=x2-x-． 依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0<n<3) 则S?PBC=S?POC+S?BOP-S?BOC =××n+×3×(-n2+n+)-×3× =-(n-)2+ ∵-＜0, ∴当n=时S?PBC的最大值是 （3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m）， 当x=0时，y=-3m， ∴D（0，-3m），B（3，0）， ∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1， MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4， BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9， 当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2． ①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）； ②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9， 解得m=-（m=舍去）． 综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形． 考点: 二次函数综合题．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用