如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运-九年级数学
题文
| 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC． （1）求当t为何值时，点Q与点D重合？ （2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．  |
答案
（1） （2）S的最大值为15 （3）0＜t≤ 或＜t≤5 |
| 解：（1）∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=  = =10，∴cos∠BAO=  = ，sin∠BAO= = ．∵AC为⊙P的直径， ∴△ACD为直角三角形． ∴AD=AC?cos∠BAO=2t× = t．当点Q与点D重合时，OQ+AD=OA， 即：t+ t=8，解得：t= ．∴t= （秒）时，点Q与点D重合．（2）在Rt△ACD中，CD=AC?sin∠BAO=2t× = t．①当0＜t≤ 时，DQ=OA﹣OQ﹣AD=8﹣t﹣ t=8﹣ t．∴S=  DQ?CD=（8﹣t）?t=﹣ t2+ t．∵﹣  = ，0＜＜，∴当t= 时，S有最大值为 ；②当 ＜t≤5时，DQ=OQ+AD﹣OA=t+ t﹣8=t﹣8．∴S= DQ?CD=（t﹣8）?t=t2﹣t．∵﹣ =，＜，所以S随t的增大而增大，∴当t=5时，S有最大值为15＞ ．综上所述，S的最大值为15． （3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB， ∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°， ∴△ACQ∽△AOB， ∴  = ，即  = ，解得t= ．所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤ 或＜t≤5．（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可； （2）利用∠BAO的正弦表示出CD的长，然后分点Q、D重合前与重合后两种情况表示出QD，再利用三角形的面积公式列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答； （3）有两个时段内⊙P与线段QC只有一个交点：①运动开始至QC与⊙P相切时（0＜t≤ ）；②重合分离后至运动结束（＜t≤5）．
上一篇：如图，正方形ABCD的边长为6cm，O是AB的中点，也是抛物线的顶点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为OA，OB，抛物线经过C，D两点，且关于OP对称，则图中阴影部分的面积为（）（π取3.14，-九年级数学
下一篇：如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、C-七年级数学
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