题文

如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE＝x． 操作：在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S． （1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）①当0＜x≤1时， S=EF?FG=x2（0＜x≤1）； ②当1＜x≤1.5时，S=（MN+EF）FN=x﹣（1＜x≤1.5）； ③当1.5＜x≤2时，S=（MD+EC）CD=﹣x+（1.5＜x≤2） ④当2＜x＜3时， S=CE?CM=x2﹣3x+（2＜x＜3）； （2）存在，其最大值为1．

试题分析：（1）本题要分情况进行讨论： ①当EF≤CD，即当0＜x≤1时，重合部分是△EFG，两直角边的长均为x，由此可得出S，x的函数关系式． ②当CD＜EF≤BC，即当1＜x≤1.5时，重合部分是个梯形，可用相似三角形求出梯形的上底的长，进而根据梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式． ③当EF＞BC，但D在EG上或EG右侧，即当1.5＜x≤2时，此时重合部分是个梯形，如果设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N，可先在相似三角形GMN和GEF中求出MN的长，而后根据MD=MN﹣DN求出梯形的上底长，进而可按梯形的面积计算公式得出S，x的函数关系式． ④当EF在D点右侧时，即当2＜x＜3时，重合部分是个三角形，先用x表示出两直角边的长，然后按①的方法进行求解即可． （2）按上面分析的四种情况，分别进行求解，得出不同自变量的取值范围内S的最大值，然后进行比较即可得出S的最大值． （1）①当0＜x≤1时，FG=EF=x＜1=AB（如图1）， ∴S=EF?FG=x2（0＜x≤1）； ②当1＜x≤1.5时，FG=EF=x＞1=AB（如图2）， 设EG与AD相交于点M，FG与AD相交于点N， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠GNM=∠GEF=45°，∠GNM=∠GFE=90° ∴∠MGN=45° ∴MN=GN=x﹣1 S=（MN+EF）FN=x﹣（1＜x≤1.5）； ③当1.5＜x≤2时，（如图3），设EG与AD相交于点M，AD的延长线与FG相交于点N， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AN∥BF 同理MN=GN=x﹣1 ∵∠FNM=∠GFE=∠DCF=90° ∴四边形DCFN是矩形 DN=CF=BF﹣BC=2x﹣3， MD=MN﹣DN=（x﹣1）﹣（2x﹣3）=2﹣x S=（MD+EC）CD=﹣x+（1.5＜x≤2） ④当2＜x＜3时，（如图4）， 设EG与CD相交于点M ∵四边形ABCD是矩形，△EFG是等腰直角三角形， ∴∠MCE=90°，∠MEC=45°=∠CME ∴CM=CE=3﹣x ∴S=CE?CM=x2﹣3x+（2＜x＜3）； （2）存在，其最大值为1．

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程