题文

已知二次函数与x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点；二次函数的顶点为P. （1）请直接写出：b=_______，c=___________； （2）当∠APB=90°，求实数k的值; （3）若直线与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）8，；（2）；（3）线段EF的长度不变化，8.

试题分析：（1）将A（1,0）、B（3,0）代入得. （2）确定二抛物线的对称轴重合，从而得到△APB为等腰直角三角形，且点P为直角顶点，一方面根据等腰直角三角形求得到，另一方面根据点P为的顶点得到，二者联立求解即可. （3）联立直线和抛物线的解析式，求出E、F两点的坐标，然后判断EF是否为定值． （1）8， . （2）∵在二次函数中，对称轴为；在二次函数中，对称轴为， ∴点P也在的对称轴上. ∴AP=BP. ∵∠APB=90° ∴△APB为等腰直角三角形，且点P为直角顶点. ∴，解得. ∵点P为的顶点， ∴. ∴，解得. （3）判断：线段EF的长度不变化. 由题意得， 解得 ， ∴EF=. ∴线段EF的长度不变化.

据专家权威分析，试题“已知二次函数与x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点；二次函数的顶点为P...”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。