如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△-九年级数学
题文
如图, 已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）。（1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由。  |
答案
(1) y= x2-x-1．(2) D（1，0）;(3) P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（ ，--1），P4（-，-1）． |
试题分析：（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、C两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式． （2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，可设D点的横坐标，根据直线AC的解析式可表示出E点的纵坐标，即可得到DE的长，以DE为底，D点横坐标为高即可得到△CDE的面积，从而得到关于△CDE的面积与D点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△CDE的面积最大值及对应的D点坐标． （3）根据抛物线的解析式，可求出B点的坐标，进而能得到直线BC的解析式，设出点P的横坐标，根据直线BC的解析式表示出P点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出△ACP三边的长，从而根据：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三种不同等量关系求出符合条件的P点坐标． （1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1）， 则有：  ，解得 ；∴抛物线的解析式为：y= x2-x-1．（2）∵A（2，0），C（0，-1）， ∴直线AC：y= x-1；设D（x，0），则E（x， x-1），故DE=0-（ x-1）=1-x；∴△DCE的面积：S= DE×|xD|=×（1-x）×x=- x2+x=-（x-1）2+，因此当x=1， 即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为 ．（3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0）， 可求得直线BC的解析式为：y=-x-1； 设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有：  AP2=（x-2）2+（-x-1）2=2x2-2x+5， AC2=5，CP2=x2+（-x-1+1）2=2x2； 当AP=CP时，AP2=CP2，有： 2x2-2x+5=2x2，解得x=2.5， ∴P1（2.5，-3.5）； ②当AP=AC时，AP2=AC2，有： 2x2-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1， ∴P2（1，-2）； ③当CP=AC时，CP2=AC2，有： 2x2=5，解得x=± ，∴P3（ ，--1），P4（-，-1）；综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（2.5，-3.5）、P2（1，-2）、P3（ ，--1），P4（-，-1）．
上一篇：函数y=ax²(a≠0)与直线y=2x－3的图像交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标。-九年级数学
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