题文

如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0），点C(0，－2)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、B为顶点的四边形为梯形.若存在，请写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由； （4）若点是线段下方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．

题型：解答题  难度：中档

答案

(1) (2) 外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）．(3) P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18) (4) 点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.

试题分析：（1）把点 （－1，0），点C(0，－2)代入解析式，即可求出a、c的值，从而二次函数的解析式可求； （2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标． （3）根据梯形的定义即可求出点P的坐标； （4）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M． （1）将A（－1，0）、点C(0，－2)．代入 求得：  （2）∵A（-1，0）、C（0，-2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（，0）． （3）共三个P1(3,-2)、P2(5,3)、P3(-5,18)  （4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直线BC的解析式为：y=x-2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b， 当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程： x+b=x2-x-2，即：x2-2x-2-b=0，且△=0； ∴4-4×（-2-b）=0，即b=-4； ∴直线l：y=x-4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ， 解得： 即 M（2，-3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×（2+3）+×2×3-×2×4=4． ∴点M（2，﹣3），△MBC面积最大值是4.

据专家权威分析，试题“如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点（－1，0..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用