题文

在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点，顶点为，点在这个二次函数图象的对称轴上．若四边形是一个边长为2且有一个内角为的菱形．求此二次函数的表达式．

题型：解答题  难度：中档

答案

y=（x-1）2-1；y=（x-1）2-；y=-（x-1）2+1；y=-（x-1）2+．

试题分析：根据题意，画出图形，可得以下四种情况： （1）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上； （2）以菱形长对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下； （3）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向上； （4）以菱形短对角线两顶点作为A、B，且抛物线开口向下， 解答时都利用四边形ACBD是一个边长为2且有一个内角为60°的条件根据解直角三角形的相关知识解答． 本题共有4种情况． 设二次函数的图象的对称轴与x轴相交于点E． （1）如图①， 当∠CAD=60°时， 因为ACBD是菱形，一边长为2， 所以DE=1，BE=， 所以点D的坐标（1，1），点C的坐标为（1，-1）， 解得k=-1，a=． 所以y=（x-1）2-1． （2）如图②，当∠ACB=60°时，由菱形性质知点A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1，-）． 解得k=-，a=， 所以y=（x-1）2-． 同理可得：y=-（x-1）2+1，y=-（x-1）2+．

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点，顶点为，..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；