题文

如图，已知直线l的解析式为，抛物线y = ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点． （1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象； （2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标； （3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1），（–4，0），作图见解析；（2），其中–4 < x < 0，12，（–2，2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由y = ax2＋bx＋2经过B（2，0），D ，将两点坐标分别代入得关于a，b的二元一次方程组，解之即可得抛物线的解析式为；将A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A点的坐标描点作出函数图象. （2）根据得到四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数；应用二次函数最值原理求出S的最大值及S最大时点P的坐标. （3）应用待定系数法求出PB所在直线的解析式，设出上的任一点的坐标，求出其关于x轴的对称点的坐标，代入PB所在直线的解析式，满足即得结论. 试题解析：（1）∵y = ax2＋bx＋2经过B（2，0），D ， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为. ∵A（m，0）在抛物线上，∴，解得. ∴A（–4，0）. 作抛物线的大致图象如下： （2）∵由题设知直线l的解析式为，∴. 又∵AB=6，∴. ∴将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中–4 < x < 0. ∵， ∴S最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2）. （3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0）， ∴PB所在直线的解析式为. 设Q是上的任一点，则Q点关于x轴的对称点为. 将代入显然成立. ∴直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上   .

据专家权威分析，试题“如图，已知直线l的解析式为，抛物线y=ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，