题文

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1,0）、C，交y轴于点B，对称轴x=-1与x轴交于点D． （1）求该抛物线的解析式和B、C点的坐标； （2）设点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，△PBD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）点G在x轴负半轴上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐标； （4）若此抛物线上有一点Q，满足∠QCA=∠ABO,若存在，求直线QC的解析式；若不存在，试说明理由.

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）y=-x2-2x+3，C（-3,0）、B（0,3）；（2）S=－x2-（-3＜x＜0）；（3）G（-4,0）；(4)存在，，或.

试题分析：（1）先根据抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为x=-1，列出关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，得到抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；再解方程-x2-2x+3=0，求出x的值，得到C点的坐标；将x=0代入y=-x2-2x+3，求出y的值，得到B点的坐标； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，根据S=S梯形PEOB-S△BOD-S△PDE求出S关于x的函数关系式，再根据点P（x，y）是第二象限内该抛物线上的一个动点，得出自变量x的取值范围； （3）设G点坐标为（a，0），则a＜0．根据等角对等边得出GB=GA，由此列出方程a2+32=（1-a）2，解方程求出a的值，即可得到G点坐标； （4）先根据正切函数的定义得出tan∠ABO=，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=，再由直线斜率的意义可知直线QC的斜率|k|=，则k=±．由此可设直线QC的解析式为y=x+n，或y=-x+n，然后将C点坐标（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直线QC的解析式． 试题解析：(1) b=-2，c="3" ，C（-3,0）、B（0,3） (2)过点P作PE⊥x轴于点E． S=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=． 将y=－x2-2x+3代入得S=－x2-x+-﹣=－x2-x． ∴-3＜x＜0． ∴S关于x的函数关系式为：S=－x2-（-3＜x＜0）． （3）G（-4,0） (4)存在 直线QC解析式为，或.

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（1,0）、C，交y轴于点B，对称..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。