题文

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标； (4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

(1) .(2)是，理由见解析；（3）(，).（4）当时，S取最大值是.此时，点M的坐标为(0，).

试题分析：（1）根据抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可； （2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可． （3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可； （4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=t，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可． 试题解析：（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4. ∵顶点在直线x＝上，∴，解得. ∴所求函数关系式为. （2）C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 当x＝5时，； 当x＝2时，. ∴点C和点D都在所求抛物线上. （3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， 设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b， 则，解得，.∴直线CD对应的函数关系式为 当x＝时，.∴P(，). （4） (0＜t＜4). ∵， ∴当时，S取最大值是.此时，点M的坐标为(0，).

据专家权威分析，试题“如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用