如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平-九年级数学
题文
| 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标； （3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  |
答案
（1）抛物线为y=- x2+ x+4．（2）M的坐标为（6，4）或（3- ，-4）或（3+，-4）．（3）点P的坐标为（4+ ， ）或（4-， ）或（-1+，-8+2）或（-1-，-8-2）． |
试题分析：（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可．由对称轴为-  ，又过点A（-2，0），所以函数表达式易得．（2）四边形为平行四边形，则必定对边平行且相等．因为已知MN∥BC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，①N点在M点右下方，即M向下平行4个单位，向右2个单位与N重合；②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合．因为M在抛物线，可设坐标为（x，- x2+x+4），易得N坐标．由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标．（3）使△PBD≌△PBC，易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点．确定平分线可因为BC=BD，可作等腰△BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-2，0）， ∴0=4a-2b+4， ∵对称轴是x=3， ∴- =3，即6a+b=0，两关于a、b的方程联立解得 a=- ，b=，∴抛物线为y=- x2+x+4．（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN， ∴BC=MN． ①N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移2个单位与N重合． 设M（x，- x2+x+4），则N（x+2，-x2+x），∵N在x轴上， ∴- x2+x=0，解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6， ∴xM=6， ∴M（6，4）． ②M点在N右下方，即N向下平行4个单位，向右2个单位与M重合． 设M（x，- x2+x+4），则N（x-2，-x2+x+8），∵N在x轴上， ∴- x2+x+8=0，解得 x=3- ，或x=3+，∴xM=3- ，或3+．∴M（3- ，-4）或（3+，-4）综上所述，M的坐标为（6，4）或（3- ，-4）或（3+，-4）．（3）∵OC=4，OB=3， ∴BC=5． 如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5， ∵D在x轴上， ∴D为（-2，0）或（8，0）． ①当D为（-2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P1
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