如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，-九年级数学
题文
如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a． （1）如图1，若m=  ．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式； ②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （2）如图2，当OB=2  ﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）． |
答案
(1) ①y=﹣x2+ x+2．② ．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）． |
试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式； ②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值； （2）解题要点有3个： i）判定△ABD为等边三角形； ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等； iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解． 试题解析：（1）当m= 时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a， ∴D（a，（a+ ）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+ ）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）． ∵点C在抛物线C2上， ∴﹣（0﹣a）2+（a+ ）2=2，解得：a=  ，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+ x+2．②在（I）式中， 令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+ ）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+  ，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：  ，解得 ，∴直线BC的解析式为：y=﹣ x+（a+）．假设存在满足条件的a值． ∵AP=BP， ∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上； ∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立， ∴OP⊥BC． 如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E， 则OP⊥BC，OE=a．  ∵点P在直线BC上， ∴P（a， a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=  ，∴  ，解得：a= ．∴存在a= ，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP" （3）∵抛物线C2
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