题文

如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？ （3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+； （2）S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为； （3）存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形，此时点F坐标为（，）．

试题分析：（1）由抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）由点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2××OB?|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围； （3）由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF为正方形． 试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，则由题意可得： ，解得． ∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+； （2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方， ∴y＜0， 即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离． ∵OB是平行四边形OEBF的对角线， ∴S=2S△OBE=2××OB?|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣， ∵S=﹣（x﹣3）2+ ∴S与x之间的函数关系式为：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值为； （3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形， ∴此时点E坐标只能（，﹣），而坐标为（，﹣）点在抛物线上， ∴存在点E（，﹣），使平行四边形OEBF为正方形， 此时点F坐标为（，）．

据专家权威分析，试题“如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，）三点，设点E（x，y）是..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：