题文

已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）. (1)求此二次函数关系式； (2)若直线经过抛物线顶点D，交轴于点F，且∥，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由. (3)若过点A作AG⊥轴，交直线于点G，连OG、BE，试证明OG∥BE.

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）此二次函数关系式为：y=x2-4x+3； （2）以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）． （3）证明见解析．

试题分析：（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待定系数法求解即可； （2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，分类讨论即可； （3）先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，即可． 试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c，图象交x轴于点A（1，0），B（3，0）， ∴， 解得：， ∴此二次函数关系式为：y=x2-4x+3； （2）当CD为平行四边形对角线时，过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N， ∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴点D（2，-1），点C（0，3）， ∴DM=1， ∵l1∥l， ∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形， ∴∠ECF+∠CFD=180°， ∵∠OCF+∠OFC=90°， ∴∠ECN+∠DFM=90°， ∵∠DFM+∠FDM=90°， ∴∠ECN=∠FDM， 在△ECN和△FDM中， ， ∴△ECN≌△FDM（AAS）， ∴CN=DM=1， ∴ON=OC-CN=3-1=2， 当y=2时，x2-4x+3=2， 解得：x=2±， ∴点E（2+，2）或（2-，2）； 当CD为平行四边形一条边时， 则EF∥CD，且EF=CD． 过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4； 过点E作EN⊥x轴于点N． 易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4． ∴x2-4x+3=4， 解得：x=2±． 综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+，2），（2-，2），（2+，4），（2-，4）． （3）如图，过点E作EH⊥x轴于点H， 设直线CE的解析式为：y=kx+3， ∵A（1，0），AG⊥x轴， ∴点G（1，k+3）， 即OA=1，AG=k+3， ∵E是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：， ∴点E（k+4，（k+1）（k+3））， ∴BH=OH-OB=k+3，EH=（k+1）（k+3）， ∴， ∵∠OAG=∠BHE=90°， ∴△OAG∽△BHE， ∴∠AOG=∠HBE， ∴OG∥BE．

据专家权威分析，试题“已知二次函数，其图像抛物线交轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用