如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿-九年级数学
题文
| 如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t= 时，△PQR的边QR经过点B； （2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．  |
答案
| (1)1秒 (2)  (3)t的值为（8﹣2  ） |
试题分析：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t的值； （2）在图形运动的过程中，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解； （3）由已知可得ABFE为正方形；其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EM+BN；设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，由勾股定理得到等式：mn+3（m+n）﹣9=0，由此等式列方程求出时间t的值． 试题解析：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形， ∴AB=AQ，即3=4﹣t， ∴t=1． 即当t=1秒时，△PQR的边QR经过点B． （2）①当0≤t≤1时，如答图1﹣1所示．  设PR交BC于点G， 过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3． S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC =8×3﹣  （2t+2t+3）×3=﹣6t+  ；②当1＜t≤2时，如答图1﹣2所示．  设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T． 过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3． QD=t，则AQ=AT=4﹣t， ∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣（4﹣t）=t﹣1． S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST =8×3﹣ （2t+2t+3）×3﹣（t﹣1）2=﹣ t2﹣5t+19；③当2＜t≤4时，如答图1﹣3所示．  设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4﹣t． PQ=12﹣3t，∴PR=RQ=  （12﹣3t）．S=S△PQR﹣S△AQT = PR2﹣AQ2=  （12﹣3t）2﹣（4﹣t）2=  t2﹣14t+28．综上所述，S关于t的函数关系式为： ．（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3， ∴四边形ABFE是正方形． 如答图2，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE与AB重合． ∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°， ∴∠BAM′+∠NAB=45°， ∴∠MAN=∠M′AN． 连接MN．在△MAN与△M′AN中，  ∴△MAN≌△M′AN（SAS）． ∴MN=M′N=M′B+BN ∴MN=EM+BN．  设EM=m，BN=n，则FM=3﹣m，FN=3﹣n． 在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3﹣m）2+（3﹣n）2=（m+n）2， 整理得：mn+3（m+n）﹣9=0． ① 延长MR交x轴于点S，则m=EM=RS= PQ=（12﹣3t），∵QS= PQ=（12﹣3t），AQ=4﹣t，∴n=BN=AS=QS﹣AQ= （12﹣3t）﹣（4﹣t）=﹣t+2．∴m=3n， 代入①式，化简得：n2+4n﹣3=0， 解得n=﹣2+ 或n=﹣2﹣（舍去）∴2﹣ t=﹣2+解得：t=8﹣2 ．∴若∠MAN=45°，则t的值为（8﹣2 ）秒．
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