题文

如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 1 2 x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

由图可知，∠AOB=45°， ∴直线OA的解析式为y=x， 联立 y=x y= 1 2 x2+k 消掉y得， x2-2x+2k=0， △=b2-4ac=（-2）2-4×1×2k=0， 即k= 1 2 时，抛物线与OA有一个交点， 此交点的横坐标为1， ∵点B的坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴点A的坐标为（ 2 ， 2 ）， ∴交点在线段AO上； 当抛物线经过点B（2，0）时， 1 2 ×4+k=0， 解得k=-2， ∴要使抛物线y= 1 2 x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是-2＜k＜ 1 2 ． 故答案为：-2＜k＜ 1 2 ．

据专家权威分析，试题“如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面..”主要考查你对  二次函数的定义  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的定义

考点名称：二次函数的定义

• 定义：
  一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
  ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
  ②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
  ③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
  

• 二次函数的解析式有三种形式：
  （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
  （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
  （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式