题文

如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

(1) A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；（2）4；（3）（-2，3），（,），（4，15）．

试题分析：（1）抛物线与x轴的交点，即当y=0，C点坐标即当x=0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值； （2）四边形ACBP的面积=△ABC+△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC=BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知AP的长度，以及点B到直线的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积； （3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC∠和∠MGA是直角，只需证明或即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解． 试题解析: （1）令y=0， 得x2-1=0 解得x=±1， 令x=0，得y=-1 ∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）； （2）∵OA=OB=OC=1， ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°． ∵AP∥CB， ∴∠PAB=45°． 过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形， 令OE=A，则PE=A+1， ∴P（A，A+1）． ∵点P在抛物线y=x2-1上， ∴A+1=A2-1． 解得A1=2，A2=-1（不合题意，舍去）． ∴PE=3． ∴四边形ACBP的面积S=AB?OC+AB?PE=×2×1+×2×3=4； （3）假设存在 ∵∠PAB=∠BAC=45°， ∴PA⊥AC ∵MG⊥x轴于点G， ∴∠MGA=∠PAC=90° 在Rt△AOC中，OA=OC=1， ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE=3， ∴AP=3 设M点的横坐标为m，则M（m，m2-1） ①点M在y轴左侧时，则m＜-1． （ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有． ∵AG=-m-1，MG=m2-1． 即 解得m1=-1（舍去）m2=（舍去）． （ⅱ）当△MAG∽△PCA时有， 即． 解得：m=-1（舍去）m2=-2． ∴M（-2，3）（10分）． ②点M在y轴右侧时，则m＞1 （ⅰ）当△AMG∽△PCA时有 ∵AG=m+1，MG=m2-1 ∴ 解得m1=-1（舍去）m2=． ∴M（，）． （ⅱ）当△MAG∽△PCA时有， 即． 解得：m1=-1（舍去）m2=4， ∴M（4，15）． ∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似 M点的坐标为（-2，3），（,），（4，15）． 考点: 二次函数综合题．

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A..”主要考查你对  二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：