题文

若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是______．

题型：填空题  难度：中档

答案

∵a+b2=1， ∴a=1-b2 ∴2a2+7b2=2（1-b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+ 3 4 ）2+2- 9 8 =2（b2+ 3 4 ）2+ 7 8 ， ∵b2≥0， ∴2（b2+ 3 4 ）2+ 7 8 ＞0， ∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小． ∴最小值是2． 方法二：∵a+b2=1， ∴b2=1-a， ∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a- 7 4 ）2+ 7 8 ， ∵b2≥0， ∴1-a≥0， ∴a≤1， ∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小． ∴最小值是2．

据专家权威分析，试题“若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是______．-数学-”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。