题文

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB、AC分别交于点M、N． （1）证明：△ADE∽△ABC； （2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C． ∴△ADE∽△ABC．（2分） （2）∵S△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为 x 6 ， ∴ S△ADE S△ABC =( x 6 )2，所以S△ADE= 2 3 x2． （4分） ∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'， ∴∠B'=∠B'MD ∴B'D=MD． 又B'D=BD，∴MD=BD． ∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．（6分） 同理，△AMN∽△ABC，S△AMN= 8 3 (x-3)2 ∴y=S△ADE-S△AMN= 2 3 x2- 8 3 (x-3)2=-2x2+16x-24． （8分） 配方得y=-2（x-4）2+8 ∴当x=4时，y有最大值． （10分）

据专家权威分析，试题“如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，..”主要考查你对  二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数的最大值和最小值

考点名称：二次函数的最大值和最小值

• 二次函数的最值：
  1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y_最小值=；
  当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y_最大值=。
  也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
  2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x₂ 时，，当x=x₁ 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x₁时，，当x=x₂时 。