题文

如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数．

题型：解答题  难度：中档

答案

设三位数为100a+10b+c，a，b，c都是整数，0＜a≤9，0≤b，c≤9，c为奇数， 那么  100a+10b+c 11 =9a+b+ a-b+c 11 ， ∵a最小是1，b最大是9，c最小是0，即可得出，-8＜a-b+c， a最大是9，b最小是0，c最大是9，即可得出，a-b+c＜18． ∴-8＜a-b+c＜18， 要使a-b+c被11整除，其值只能是0和11， （ 1）当a-b+c=0时，得9a+b=a2+b2+c2． 以b=a+c代入，并整理为关于a的二次方程，得 2a2+2（c-5）a+2c2-c=0 把c=1，3，5，7，9　逐一讨论a的解 当c=1时，无整数解，当　c=3，5，7，9时，无实数根； ∴此时没有满足条件的三位奇数； （2）当a-b+c=11时，得9a+b+1=a2+b2+c2． 以b=a+c-11代入，并整理为关于a的二次方程，得 2a2+2（c-16）a+2c2-23c+131=0． 把c=1，3，5，7，9　逐一讨论a的解 当c=1时，无整数解，当　c=5，7，9时，无实数根； 只有当c=3时，a=8，b=0适合所有条件． 即所求三位数为803． 综上所述，符合条件的三位数为803．

据专家权威分析，试题“如果有一个三位数的奇数，它除以11所得的商，是这个三位数的各位..”主要考查你对  有理数除法，科学记数法和有效数字  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法科学记数法和有效数字

考点名称：有理数除法

• 有理数除法定义：
  已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

• 有理数的除法法则：
  （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
  （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
  （3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

• 有理数除法注意：
  ①0不能做除数；
  ②有理数的除法和乘法是互逆运算；
  ③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

考点名称：科学记数法和有效数字

• 定义：
  把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），这种计数法叫做科学记数法。
  有效数字：
  从一个数的左边非0数字其，到末尾数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

• 科学记数法的特点：
  （1）简单：对于数目很大的数用科学记数法的形式表示起来又科学、又简单。
  （2）科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的，其中一个因数为a（1≤a＜10，a∈N*），另一个因数为10ⁿ（n是比原来数A的整数部分少1的正整数）。
  （3）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。

• 速写法：
  对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数位”的个数，即代表0的个数。
  如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.8×10¹²或1.8E¹²。
  10的指数小于0的情形，数出“非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）”
  如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.34593×10^-3或9.34593E^-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10^-n（n≥0）
  
  科学计数法的基本运算：
  数字很大的数，一般我们用科学记数法表示，
  例如6230000000000，我们可以用6.23×10¹²表示，
  而它含义从直面上看是将数字6.23中6后面的小数点向右移去12位。
  若将6.23×10¹²写成6.23E¹²，
  即代表将数字6.23中6后面的 小数点向右移去12位，在记数中如
  1. 3×10⁴+4×10⁴=7×10⁴可以写成3E4+4E4=7E4
  即 aEc+bEc=(a+b)Ec
  2. 4×10⁴－7×10⁴=－3×10⁴可以写成4E4－7E4=－3E4
  即 aEc-bEc=(a-b)Ec
  3. 3000000×600000=1800000000000
  3e6×6e5=1.8e12
  即 aEM×bEN=abE(M+N)
  4. -60000÷3000=-20
  -6E4÷3E3=-2E1
  即 aEM÷bEN=a/bE(M-N)
  5.有关的一些推导
  （aEc)²=（aEc)（aEc)=a²E2c
  （aEc)³=（aEc)（aEc)（aEc)=a³E3c
  （aEc)ⁿ=aⁿEnc
  a×10^lgb=ab
  aElgb=ab