题文

在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心、5为半径的圆与轴相交于点B、C（点B在点C的左边），与轴相交于点D、M(点D在点M的下方)。

（1）求以直线为对称轴，且经过点D、C的抛物线的解析式；　 （2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC+PD的取值范围；　 （3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）设以为对称轴的抛物线的解析式为          ，     由已知得点C、D的坐标分别为C（2，0）、D（0，-4），     分别代入解析式，得 ，     解得：，     ∴经过点D、C的抛物线的解析式为。
（2）如图1，       ∵点C（2，0）关于直线的对称点为点B（-8，0），       ∴要求PC+PD的最小值，即求线段BD的长，       在Rt△BOD中，由勾股定理得，       ∴PC+PD的最小值是，       ∵点P是对称轴上的动点，　　   　 ∴PC+PD无最大值，   　 ∴PC+PD的取值范围是
（3）存在，   ①(图2)当BC为平行四边形的一边时，若点F在抛物线上，且使四边形 BCFE或四边形BCEF为平行四边形，则有BC∥EF且BC=EF，    设点E（-3，t），过点E作直线EF∥BC与抛物线交于点F（m，t），    由BC=EF，得EF=10，    ∴F1（7，t），F2（-13，t），  又当m=7时，，   ∴F1（7，）F2（-13，）。   ②(图3)当BC为所求平行四边形的对角线时，　　　   由平行四边形性质可知，点F即为抛物线的顶点（-3，），   ∴存在三个符合条件的F点，分别为F1（7，），F2（-13，）， F3（-3，）。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，以点A（-3，0）为圆心、5为半径的圆与轴相交于..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，平行四边形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理平行四边形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。