题文

如图，已知二次函数y=- 1 2 x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积． （3）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围． （4）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向下平移______个单位．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入y=- 1 2 x2+bx+c， 得： -2+2b+c=0 c=-6 ， 解得 b=4 c=-6 ， ∴这个二次函数的解析式为y=- 1 2 x2+4x-6； （2）∵该抛物线对称轴为直线x=- 4 2×(- 1 2 ) =4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴AC=OC-OA=4-2=2， ∴S△ABC= 1 2 ×AC×OB= 1 2 ×2×6=6； （3）当y=0时，- 1 2 x2+4x-6=0， 解得，x1=2，x2=6， 由图可知，x＜2或x＞6． （4）将（2）中所求x=4代入解析式，即可得顶点坐标为- 1 2 ×42+4×4-6=2， 可见把图象沿y轴向下平移2个单位，则该二次函数的图象与x轴只有一个交点． 故答案为：2．

据专家权威分析，试题“如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x