题文

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），且与y轴平行，抛物线与x轴相交于A（1，0），与y轴相交于B（0，3），其在对称轴左侧的图象如图所示，下面四个结论： ①x＞2时，y随x的增大而增大； ②y=3时，x的值只能为0； ③若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则|x1-x2|=2； ④抛物线的顶点坐标是（2，-1）． 正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4

题型：单选题  难度：中档

答案

①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），开口向上， ∴x＞2时，y随x的增大而增大，正确； ②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于B（0，3），对称轴是x=2， ∴y=3时，x的值是0或4，故本选项错误； ③∵抛物线与x轴相交于A（1，0），对称轴是x=2， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则|x1-x2|=3-1=2，正确； ④设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 则3=a（-1）（-3）， 解得：a=1， 则抛物线的解析式为：y=（x-1）（x-3）， 则顶点坐标是（2，-1），正确． 故选C．

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过（2，0），且与y轴平行，抛..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

• 二次函数与一元二次方程的关系：
  函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
  那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
  1、从形式上看：
  二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
  一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
  2、从内容上看：
  二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
  3、相互关系：
  二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
  如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

• 二次函数交点与二次方程根的关系：
  抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
  1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
  2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
  3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
  若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。

• 点拨：
  ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
  ②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
  ③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
  若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
  ④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。