题文

已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是（0，8），点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0<t≤8)秒后，直线PQ交OB于点D。

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长 （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （3）当a=3，OD=时，求t的值及此时直线PQ的解析式； （4）当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB相似？当a为何值时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不相似？请给出你的结论，并加以说明.

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）∠AOB=30°，OA=8； （2）； （3）当a=3时，CP=t， OQ=3t，OD=，∴PB=8-t，BD=8      由△OQD∽△BPD得，即，∴t=。       当t=时，OQ=，同理可求Q().        设直线PQ的解析式为y=kx+b，则 ∴     ∴直线PQ的解析式为； （4）当a=1时，△ODQ∽△OBA，当1<a<3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似，         当a=3时，△ODQ∽△OAB 理由如下： ① 若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ//AB，        故四边形PCOQ为平行四边形，∴CP=OQ. 即at=t (0<t≤8)，          ∴ a=1，故当a=1时，△ODQ∽△OBA， ②若△ODQ∽△OAB. （Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD.         ∴   ∴即 ∴OD=  ∵△ODQ∽△OAB，∴，即   ∴，∵，∴此时a>3，不符合题意. ∴即时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似；  (Ⅱ)当P与B重合时，此时D点也与B点重合.        可知此时，t=8，由△ODQ∽△OAB得        ∴OB2=OA·OQ，即（8）2=8×8a，        ∴a=3，符合题意. 故当a=3时，△ODQ∽△OAB。

据专家权威分析，试题“已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，菱形，菱形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用菱形，菱形的性质，菱形的判定相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。