题文

如图，矩形是由矩形（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕点B逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为 （1，3），与AB交于D点。

（1）求D点的坐标； （2）如果二次函数（）的图象经过点O、两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式； （3）若将直线OC绕点O旋转度（）后与抛物线的另一个交点为P，则以O、、B、P为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出的值；若不能，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）连结BO，BO′，则BO=BO′， ∵BA⊥OO′， ∴AO=AO′， ∵B（1，3）， ∴O′（2，0），M（1，-1）， 易证△AOD'≌ △C'BD， ∴OD'=BD， 设OD'=m， 则AD=3-m ， 又O'A=1， ∴m2=（3-m）2+12，即m=， ∴AD=， 即D点坐标为（1，）。 （2）抛物线过O（0，0），O'（2，0），M（1，-1）是顶点， 设y=a（x-1）2-1，则a=1，  ∴y=（x-1）2-1， 即 y=x2-2x。 （3）O O'=2为平行四边形的边， ∴BP∥OO'，BP=OO'， 设P（x , 3），P在抛物线上， ∴x2-2x=3，解得：x1=-1，x2=3， ∴P（-1 ，3）或（3 ，3）， 当点P（3，3）时，∠COP=α=45°，tanα=1；  当点P'（-1，3）时，∠COP'=α，tanα=。

据专家权威分析，试题“如图，矩形是由矩形（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用用坐标表示位置

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
  ∴y=ax2+bx+c
  =a(x2+b/ax+c/a)
  =a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
  =a(x-x₁)(x-x₂).
  重要概念：
  a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；