题文

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP =_____ ，点Q到AC的距离是_____ ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围） （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）1，； （2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t， ∴．由△AQF∽△ABC， ， 得．∴． ∴， 即． （3）能． ①当DE∥QB时，如图4． ∵DE⊥PQ， ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC， 得， 即． 解得． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC， 四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 ， 即． 解得． （4）或． 【注：①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6． ， ． 由，得， 解得． ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．  ，】

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax