题文

如图 ，已知直线 L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M． （1）直接写出直线L的解析式； （2）设OP=t，的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当时，S的最大值； （3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C， 使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）； （2）∵，∴Q点的横坐标为， ①当，即时，， ∴ ②当时，， ∴． 当，即时，， ∴当时，S有最大值； （3）由OA=OB=1，所以是等腰直角三角形，若在上存在点C，使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ=QC，所以OQ=QC，又轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC=OA=1，得C（1，1）． 下证．连CB，则四边形OABC是正方形． （i）当点P在线段OB上，Q在线段AS上 由对称性，得 ∴ ∴ （ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图-2，如图-3 ∵， ∴ （iii）当点Q与点B重合时，显然． 综合（i）（ii）（iii），． ∴在上存在点，使得是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．

据专家权威分析，试题“如图，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，O..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用求一次函数的解析式及一次函数的应用二次函数的最大值和最小值