题文

如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）． （1）k=_____，点A的坐标为_____，点B的坐标为_____； （2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y=x2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1），  A（-1，0），  B（3，0）． （2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=， △MOB的面积=6，  ∴ 四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． （3）如图（2），设D（m，），连结OD． 则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， △DOB的面积=-（）， ∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 = =．  ∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为． （4）有两种情况： 如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为． 由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）． 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 点F的坐标为（-3，0）． ∴ 直线CF的解析式为． 由 解得 ∴点Q2的坐标为（1，-4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

图（1）   图（4）

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]