题文

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac。 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；  （3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由抛物线过B（0，1）得c=1，又b=-4ac， 顶点A（-，0）， ∴-==2c=2， ∴A(2，0) 将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0 ， ∴，解得a =，b =-1， 故抛物线的解析式为y=x2-x+1； (2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x，y)， 　　　　　　　　　　　　 　　 作CD⊥x轴于D ，连接AB、AC　　　　　　　　　　　　　 ∵A在以BC为直径的圆上， ∴∠BAC=90° ∴ △AOB∽△CDA　　　　　　　　　　 ∴OB·CD=OA·AD　　　　　　　　　　　 即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4  由，解得x1=10，x2=2 ∴符合题意的点C存在，且坐标为 (10，16)，或(2，0)  ∵P为圆心， ∴P为BC中点． 　 当点C坐标为(10，16)时，取OD中点P1，连PP1，　 则PP1为梯形OBCD中位线 ∴PP1=(OB+CD)= ∵D(10，0)， ∴P1(5，0)， ∴P(5，) 当点C坐标为(2，0)时，取OA中点P2，连PP2，　 则PP2为△OAB的中位线， ∴PP2=OB=， ∵A (2，0)， ∴P2(1，0)， ∴P(1，)， 故点P坐标为(5，)，或(1，)；　　　 （3）设B、P、C三点的坐标为B(x1，y1)，P(x2，y2)，C(x3，y3)，由(2)可知： 。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x