题文

如图，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交x轴于C、D两点。

（1）求抛物线对应的函数表达式； （2）抛物线或在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令y=0，得=0， ∴， ∴A（-3，0），B（1，0）， ∵抛物线向右平移2个单位后得到抛物线， ∴C（-1，0），D（3，0），a=-1， ∴抛物线为y=-(x+1)(x-3)，即。 （2）存在。 令x=0，得y=3，∴M（0，3）， ∵抛物线是抛物线向右平移2个单位后得到的， ∴点N（2，3）在上，且MN=2，MN∥AC， 又∵AC=2， ∴MN=AC， ∴四边形ACNM为平行四边形， 同理，上的点N′（-2，3）满足N′M∥AC，N′M=AC， ∴四边形ACMN′是平行四边形， ∴N（2，3），N′（-2，3）即为所求。 （3）设P1（x1，y1）是上任意一点（y1≠0）， 则点P关于原点的对称点Q（-x1，-y1），且， 将点Q的坐标代入， 得， ∴点Q不在抛物线上。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线：交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线向右平移2个单..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的判定，关于原点对称的点的坐标  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的判定关于原点对称的点的坐标

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。