题文

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为。 （2）存在。 由得D点坐标为（1，4），对称轴为x=1， ①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)， 根据勾股定理，得，即y=4-x。 又P点(x，y)在抛物线上， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以，， 即点P的坐标为； ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）， ∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4）， 根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=， ∴， ∴∠BCD=90°， 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F， 在Rt△DCF中，∵CF=DF=1， ∴∠CDF=45°， 由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC， ∴四边形BCDM为直角梯形， 由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时， 顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况； 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。

据专家权威分析，试题“如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定梯形，梯形的中位线

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；