题文

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN。令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；      （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？        （3）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴AN=x， ∴（0<x<4）。
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO、OD， 则AO=OD=MN， 在Rt△ABC中，， 由（1）知△AMN∽△ABC， ∴，即， ∴， ∴， 过M点作MQ⊥BC 于Q，则， 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴△BMQ∽△BCA， ∴， ∴，， ∴x=， ∴当x=时，⊙O与直线BC相切。
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP， 则O点为AP的中点， ∵MN∥BC， ∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC， ∴△AMO∽△ABP， ∴，AM=MB=2， 故以下分两种情况讨论： ①当0＜x≤2时，； ∴当x=2时，； ②当2＜x＜4时，如图4，设PM，PN分别交BC于E，F， ∵四边形AMPN是矩形， ∴PN∥AM，PN=AM=x， 又∵MN∥BC， ∴四边形MBFN是平行四边形， ∴FN=BM=4-x， ∴PF=x-（4-x）=2x-4， 又△PEF∽△ACB， ∴， ∴， ， 当2＜x＜4时，， ∴当时，满足2＜x＜4，， 综上所述，当时，y值最大，最大值是2。

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；