已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D。(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;(3)在(2)的条-九年级数学
题文
已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D。 |
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标; (2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形; (3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E'FG,设P(x,0),△E'FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量算的取值范围。 |
答案
解:(1)依题意,设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,则, 解得 a=-,b= ∴所求抛物线的解析式为y=-x2+x+4, 由,解得,,∴D(4,0); |
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(2)如图(1),过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别作x轴、y轴的垂线,两线交于点M 则∠M=∠CNE=90°, 设E(a,0),EB=EC, ∴BM2+EM2=CN2+EN2, ∴(1-a)2+(4-0)2=(2-0)2+(3-a)2, 解得a=-1, ∴E(-1,0); |
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(3)可求得直线BC的解析式为y=-x+5, 从而直线BC与x轴的交点为H(5,0),如图(2), 根据轴对称性可知S△E'FG=S△EFG,当E'点在BC上时,点F是BE的中点, ∵FG∥BC,∴△EFP∽△EBH,可证EP=PH, ∵E(-1,0),H(5,0),∴P(2,0), (i)如图(3),分别过点B、C作BK⊥ED于K,CJ⊥ED于J, 则S△BCE=S△BEF-S△CEH=1/2EH·(BK-CJ)=6, 当-1<x≤2时, ∵PF∥BC,∴△EGP∽△ECH,△EFG∽△EBC ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EP=x+1,EH=6, ∴S=S△E'FG=S△EFG=; (ⅱ)如图(4), 当2<x≤4时,在x轴上截取一点Q,使得PQ=HP,过点Q作QM∥FG,分别交EB,EC于M,N,可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC, , ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EH=6,PQ=PH=5-x,EP=x+1,EQ=6-2(5-x)=2x-4, ∴S△EMN=, 同(i)可得S△EFG=, ∴S=S△EFG-S△EMN=-, 综上:。 |
据专家权威分析,试题“已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点..”主要考查你对 求二次函数的解析式及二次函数的应用,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质,等腰三角形的判定相似三角形的性质
考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
- 求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。
二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
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