已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D。(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;(3)在(2)的条-九年级数学

题文

已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D。

(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E'FG,设P(x,0),△E'FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量算的取值范围。
题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)依题意,设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,则
解得 a=-,b=
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+x+4,
,解得,,∴D(4,0);
(2)如图(1),过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别作x轴、y轴的垂线,两线交于点M
则∠M=∠CNE=90°,
设E(a,0),EB=EC,
∴BM2+EM2=CN2+EN2
∴(1-a)2+(4-0)2=(2-0)2+(3-a)2
解得a=-1,
∴E(-1,0);
(3)可求得直线BC的解析式为y=-x+5,
从而直线BC与x轴的交点为H(5,0),如图(2),
根据轴对称性可知S△E'FG=S△EFG,当E'点在BC上时,点F是BE的中点,
∵FG∥BC,∴△EFP∽△EBH,可证EP=PH,
∵E(-1,0),H(5,0),∴P(2,0),
(i)如图(3),分别过点B、C作BK⊥ED于K,CJ⊥ED于J,
则S△BCE=S△BEF-S△CEH=1/2EH·(BK-CJ)=6,
当-1<x≤2时,
∵PF∥BC,∴△EGP∽△ECH,△EFG∽△EBC

∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0),
∴EP=x+1,EH=6,
∴S=S△E'FG=S△EFG=
(ⅱ)如图(4),
当2<x≤4时,在x轴上截取一点Q,使得PQ=HP,过点Q作QM∥FG,分别交EB,EC于M,N,可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC,

∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0),
∴EH=6,PQ=PH=5-x,EP=x+1,EQ=6-2(5-x)=2x-4,
∴S△EMN=
同(i)可得S△EFG=
∴S=S△EFG-S△EMN=-
综上:

据专家权威分析,试题“已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质,等腰三角形的判定相似三角形的性质

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

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