题文

设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°。 （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）已知点D（1，n ）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于_____________。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）令x=0，得y=-2， ∴C（0，-2）， ∵∠ACB=90°，CO⊥AB， ∴△AOC∽△COB， ∴OA·OB=OC2， ∴OB=， ∴m=4， 将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-2，得， ∴抛物线的解析式为； （2）D（1，n）代入y=，得n=-3， 由，得 ∴E（6，7）过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0） ∴AH=EH=7 ∴∠EAH=45° 过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0） ∴BF=DF=3 ∴∠DBF=45° ∴∠EAH=∠DBF=45° ∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135° 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB， 则 ∴BP1= ∴OP1=， ∴P1（，0） ②若△DBP2∽△BAE， 则 ∴BP2= ∴OP2=  ∴ 综合①、②，得点P的坐标为：或； （3）或。

据专家权威分析，试题“设抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。