题文

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A，点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点。 （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）如图（1），若过动点M的直线ME∥BC交抛物线对称轴于点E，试问抛物线上是否存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（2），若过动点M的直线MD∥AC交直线BC于点D，连接CM，当△CDM的面积最大时，求点M的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵直线y=2x+4与坐标轴交点B、C的坐标分别是（-2，0）、（0，4） ， 解得a=-，c=4， ∴抛物线解析式y=-x2+x+4， ∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是（4，0）； （2）由（1）可知，点N坐标为（1，0），设点M（m，0）， ∵直线ME∥BC， ∴直线M的解析式为y=2（x-m）=2x-2m， 将x=1代入上式，得y=2-2m， ∴E（1，2-2m） 假设存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，  ∴F（2-m，2-2m）或F（m，2-2m）， ∵F点在抛物线上， ∴2-2m=-（2-m）2+2-m+4或2-2m=-m2+m+4， 整理，得m2-6m-4=0， 解之，得m ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜m＜4； ∴ ∴
（3）如图DE⊥x轴于点E，设 M（x，0），则BM=x+2， ∵DM∥CA， ∴△DM∽△BCA， ∴ 即DE=（x+2）=x+ S△CDM=S△BCM-S△BDM =BM·CO-BM·DE =（x+2）×4-（x+2）（x+） =-（x-1）2+3 ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜x＜4， ∴当x=1时，S最大值=3，此时M（1，0）。

据专家权威分析，试题“在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行四边形的判定，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行四边形的判定相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。