题文

如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。 （1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状； （2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式； （4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。

图1                                                        图2

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）△AMN是直角三角形， 依题意得OA=2，OM=4，ON=1， ∴MN=OM+ON=4+1=5， 在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴MN2=AM2+AN2， ∴△AMN是直角三角形； （解法不惟一）
（2）答：（1）中的结论还成立， 依题意得OA=2，OM=-m，ON=n， ∴MN=OM+ON=n-m， ∴MN2=（n-m）2=n2-2mn+m2， ∵mn=-4， ∴MN2=n2-2×（-4）+m2=n2+m2+8， 又∵在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8， ∴MN2=AM2+AN2， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一）
（3） ∵mn=-4，n=4， ∴m=-1，  设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2）， ∴ ∴ ∴所求抛物线的函数关系式为y=-x2+x+2；
（4） 抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1， ∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM， ∵抛物线的对称轴为x=， ∴Q1（，0）， ∴NQ1=4-=， 过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2， ∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似， ∴， 即Q1Q2-， ∵点Q2位于第四象限， ∴Q2（，-5）， 因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（，0），Q2（，-5）。

据专家权威分析，试题“如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理的逆定理相似三角形的性质