题文

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1米/秒得速度从C点出发，沿CB向B移动。当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t秒。 （1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数关系式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时，求出t的值。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米， ∴AC=10米， 由题意得：AP=2t，CQ=10-2t； （1）①过点P作PD⊥BC于D， ∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5， ∴PD=AB=3， ∴S=×QC×PD=3.75； ②过点Q作QE⊥PC于点E， 易知Rt△QEC∽Rt△ABC， ∴，QE= ∴S=，
（2）当秒（此时PC=QC），秒（此时PQ=QC），或秒（此时PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；
（3）过点P作PF⊥BC于点F，则有△PCF∽△ACB， ∴， 即 ∴PF=，FC= 则在Rt△PFQ中， 当⊙P与⊙Q外切时，有PQ=PA+QC=3t， 此时 整理得：， 解得（舍去） 故⊙P与⊙Q外切时，； 当⊙P与⊙Q内切时，有PQ=PA-QC=t， 此时 整理得：， 解得 故⊙P与⊙Q内切时 或。

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒得速度从..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]