题文

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2）， ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2， 将A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为；
（2）存在， 如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为， 当1＜m＜4时，AM=4-m，-2， ∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时， △APM∽△ACO， 即4-m=2， 解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）； ②当时， △APM∽△CAO， 即， 解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）， ∴当1＜m＜4时，P（2，1）， 类似地可求出当m>4时，P（5，-2）， 当m<1时，P（-3，-14）， 综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为， 过D作y 轴的平行线交AC于E， 由题意可求得直线AC的解析式为， ∴E点的坐标为， ∴ ∴ ∴当t=2时，△DAC的面积最大， ∴D（2，1）。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点。（1）求此抛物线..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，三角形的周长和面积，相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的最大值和最小值三角形的周长和面积相似三角形的判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。