题文

如图所示，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）。 （1）求抛物线的对称轴及k的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限。 ①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标； ②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）抛物线的对称轴为：直线x=-1， ∵抛物线过点C（0，-3），则， ∴k=-4；
（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小，又因为P点要在对称轴上，所以P点应为线段AC与对称轴直线x=-1的交点， 由（1）可知，抛物线的表达式为：， 令y=0，则，解得：， 则点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（1，0）， 设直线AC的表达式为y=kx+b， 则解得： 所以直线AC的表达式为y=-x-3， 当x=-1时，， 所以，此时点P的坐标为（-1，-2）；
（3）①依题意得： 当点M运动到抛物线的顶点时，△AMB的面积最大， 由抛物线表达式可知，抛物线的顶点坐标为（-1，-4）， ∴点M的坐标为（-1，-4）， △AMB的最大面积， ②如图，过点M作MH⊥x轴于点H，连结AM、MC、CB， 点M在抛物线上，且在第三象限，设点M的坐标为（）， 则， 当时，四边形AMCB的面积最大，最大面积为， 当时， ∴四边形AMCB的面积最大时，点M的坐标为（）。

据专家权威分析，试题“如图所示，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。