题文

如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B。 （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积； （3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N，问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）对于一次函数y=-4x-4， 令x=0，得y=-4， 故点C的坐标为（0，-4）， 令y=0，得x=-1， 故点A的坐标为（-1，0）， 把A、C两点坐标代入y=x2+bx+c得 ∴ 解得 ∴y=x2-x-4；
（2）∵ ∴顶点为D（1，-）， ∵A、B两点关于对称轴x=1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线DC交x轴于点E， 如图1， 由D（1，-）C （0，-4）， 易求直线CD的解析式为y=-x-4易求E（-3，0），    S四边形ABDC=S△EDB-S△ECA=12；	图1
（3）存在， ∵MN∥x轴， ∴△CMN∽△CAB， ∴ （a）当MP=MN或NP=MN时， 设MN=a， 如图2 即， ∴a=2， ① 当∠PMN=90°时， ∵MP∥OC， ∴△AMP∽△ACO ∴， 即， ∴OP=0.5， ∴P1的坐标为（-0.5，0）， ② 当∠PNM=90°时， ∵NP∥OC， ∴△BNP∽△BCO， ∴， 即， ∴OP=1.5， ∴P2的坐标为（1.5，0） （b）当∠MPN=90°，PM=PN时， 如图3， 过点P作PQ⊥MN，垂足为Q， 则PQ=QM=QN， 设PQ=d，则QM=QN=d，MN=2d 则=（已证）即  d=， 过点N作NG⊥x轴，垂足为G， 则PQ=GN=QN=PG= ∴NG∥OC， ∴△BNG∽△BCO ∴， 即， ∴BG=1， ∴OP=OB-BG-PG=3-1-， ∴P3的坐标为（，0）， 综上（a）、（b），存在满足条件的点P有3个，坐标分别是 P1（-0.5，0）、P2（1.5，0）、P3（，0）。	图3 图3

据专家权威分析，试题“如图，一次函数y=-4x-4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的图像，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的周长和面积，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的图像等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形的周长和面积相似三角形的性质