题文

如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。

（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点， ∴解得a=1，b=4， ∴抛物线解析式为y=x2+4x+3； （2）由（1）配方得y=（x+2）2-1 ∴抛物线的顶点M（-2，-1）， 直线OD的解析式为y=x， 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h）， ∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+h， ① 当抛物线经过点C时， ∵C（0，9）， ∴h2+h=9， 解得h=， ∴当≤x<时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点； ② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组 得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0， ∴⊿=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4， 此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意； 综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时， 顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤x<； （3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），点E、F的坐标分别为（m，m2），（n，n2）， 由，得x2-kx-3=0， ∴m+n=k，m·n=-3， 作点E关于y轴的对称点R（-m，m2），作直线FR交y轴于点P， 由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上， ∴点P即为所求的点， 由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn，记y=（n-m）x-3， 当x=0时，y=-3， ∴P（0，-3）， ∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3）， 使△PEF的内心在y轴上。

据专家权威分析，试题“如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。（1）求抛..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，轴对称，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用轴对称平移

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。