如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A-九年级数学

题文

如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。
(1)求B点坐标;?
(2)求证:ME是⊙P的切线;?
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式。

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,?
∵正方形CDEF面积为1,
∴CD=CF=1,
根据圆和正方形的对称性知OP=PC=n,
∴BC=2PC=2n,
而PB=PE,


解得n=1(舍去),
∴BC=OC=2,
∴B点坐标为(2,2);
(2)如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),
∵A,C在抛物线上,


∴抛物线的解析式为

∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线,
∵C与G关于直线x=3对称,
∴CF=FG=1,
∴FM=FG=
在Rt△PEF与Rt△EMF中,
=2,

∴△PEF∽△EMF,
∴∠EPF=∠FEM,
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,
∴ME与⊙P相切;
(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ?则有AQ=A′Q,
△ACQ周长的最小值为(AC+A′C)的长,
∵A与A′关于直线x=3对称∴A(0,2),A′(6,2),
(6-2),
而AC=
∴△ACQ周长的最小值为
②当Q点在F点上方时,S=t+1,
当Q点在线段FN上时,S=1-t,
当Q点在N点下方时,S=t-1。

据专家权威分析,试题“如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用,正方形,正方形的性质,正方形的判定,直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求二次函数的解析式及二次函数的应用正方形,正方形的性质,正方形的判定直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)

考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式:
    最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
    (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
    (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
    (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
    (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。

    二次函数的应用:
    (1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
    理解题意;
    建立数学模型;
    解决题目提出的问题。
    (2)应用二次函数求实际问题中的最值:
    即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式:
    ①一般式:
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式:
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
    解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
    注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况:
    当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;

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