如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A-九年级数学
题文
如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上),若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1。 (1)求B点坐标;? (2)求证:ME是⊙P的切线;? (3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点, ①求△ACQ周长的最小值; ②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式。 |
答案
解:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,? ∵正方形CDEF面积为1, ∴CD=CF=1, 根据圆和正方形的对称性知OP=PC=n, ∴BC=2PC=2n, 而PB=PE, ∴, 解得n=1(舍去), ∴BC=OC=2, ∴B点坐标为(2,2); |
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(2)如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0), ∵A,C在抛物线上, ∴, ∴, ∴抛物线的解析式为, 即, ∴抛物线的对称轴为x=3,即EF所在直线, ∵C与G关于直线x=3对称, ∴CF=FG=1, ∴FM=FG=, 在Rt△PEF与Rt△EMF中, =2, ∴, ∴△PEF∽△EMF, ∴∠EPF=∠FEM, ∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°, ∴ME与⊙P相切; |
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(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ?则有AQ=A′Q, △ACQ周长的最小值为(AC+A′C)的长, ∵A与A′关于直线x=3对称∴A(0,2),A′(6,2), ∴(6-2), 而AC=, ∴△ACQ周长的最小值为; ②当Q点在F点上方时,S=t+1, 当Q点在线段FN上时,S=1-t, 当Q点在N点下方时,S=t-1。 |
据专家权威分析,试题“如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直..”主要考查你对 求二次函数的解析式及二次函数的应用,正方形,正方形的性质,正方形的判定,直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离) 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
求二次函数的解析式及二次函数的应用正方形,正方形的性质,正方形的判定直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离)
考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用
- 求二次函数的解析式:
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。
二次函数的应用:
(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式:
①一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。②顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
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