如图①②,在平面直角坐标系中,边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。(1)求C1点的坐标-九年级数学

题文

如图①②,在平面直角坐标系中,边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C1DE 的位置。
(1)求C1点的坐标;
(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式;
(3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;
(4)抛物线上是否存在一点M,使得S△AMF∶S△OAB=16∶3,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。


图①                                            图②                                                            图③

题型:解答题  难度:偏难

答案

解:(1)C1(3,);
(2)∵抛物线过原点O(0,0),设抛物线解析式为y=ax2+bx,
把A(2,0),C(3,)带入,得
解得a=,b=-
∴抛物线解析式为y=x2-x;
(3)∵∠ABF=90°,∠BAF=60°,
∴∠AFB=30° 又AB=2,
∴AF=4,
∴OF=2,
∴F(-2,0),
设直线BF的解析式为y=kx+b,
把B(1,),F(-2,0)带入,得
解得k=,b=
∴直线BF的解析式为y=x+
(4)①当M在x轴上方时,存在M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3
得x2-2x-8=0,
解得x1=4,x2=-2,
当x1=4时,y=×42-×4=
当x2=-2时,y=×(-2)2-×(-2)=
∴M1(4,),M2(-2,
②当M在x轴下方时,不存在,设点M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[-×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3
得x2-2x+8=0,b2-4ac<0,无解,
综上所述,存在点的坐标为M1(4,),M2(-2,)。

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