题文

已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B。 （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图②，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）把A（3，0），B 代入，  ∴3a= ∴； （2）设P， 则S△POB=， ∵S△POA=3·， ∴  ∴a=±， 又P在第二象限， ∴P； （3）C（1，-3）， 设DO为a，则AD2=a2+9，DC2=1+（3-a）2，AC2=13， ∴当AD2+DC2=AC2时，即∠ADC=90°时， a2+9+1+9+a2-6a=13， 2a2-6a+6=0， a2-3a+3=0， 则a=1，b=-3，c=3， ∴A=9-12=-3<0， ∴无解， 当AD2+AC2=DC2时，即∠CAD=90°， a2+9+13=1+9+a2-6a， 　 当AC2+DC2=AD2时即∠ACD=90°， 则13+1+9+a2-6a=a2+9， ， ∴ 则D或（0，2）。

据专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2-2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B。（1）求..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，直角三角形的性质及判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用直角三角形的性质及判定

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：
  当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
  当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
  当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
  当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

  ③交点式：
  y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
  已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
  
  由一般式变为交点式的步骤：
  二次函数
  ∵x