题文

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA予点E。

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G，如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）， ∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD， ∴AE=AD·tan∠ADE=2×tan∠BCD=2×=1 ∴E（0，1） 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 将点E的坐标代入，得c=1， 将c=1和点D、C的坐标分别代入，得 ，解这个方程组，得， 故抛物线的解析式为y=； （2）EF=2GO成立， ∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为， ∴点M的纵坐标为， 设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0）， 将点D、M的坐标分别代入，得 ，解得， ∴DM的解析式为y=-x+3， ∴F（0，3），EF=2， 如图甲，过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK， ∵∠ADK=∠FDG=90°， ∴∠FDA=∠GDK， 又∵∠FAD=∠GKD=90°， ∴△DAF≌△DKG， ∴KG=AF=1， ∴CO=1， ∴EF=2GO； （3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）， ∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2， ①若PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，解得t=2， ∴P（2，2），此时点Q与点P重合， ∴Q（2，2）； ②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，解得t=1， ∴P（1，2），此时GP⊥x轴，CP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1， ∴点Q的纵坐标为， ∴Q（1，）； ③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3， ∴P（3，2），此时 PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形， 如图乙，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h， ∴Q（h+1，h）， ∴（h+1）2+（h+1）+1=h，解得h1=，h2=-2（舍去）， ∴， 综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q或。

据专家权威分析，试题“已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质，图形旋转  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用等腰三角形的性质，等腰三角形的判定全等三角形的性质图形旋转

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax