题文

如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5， C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2。 （1）求a的值及点B的坐标； （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG，记过C2顶点Ｍ的直线为l，且l与x轴交于点N。 ① 若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1， 2），求点N的横坐标； ② 若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上， ∴把点A坐标代入得a=1， ∴抛物线C1的解析式为， 设B（-2，b）， ∴b=-4， ∴B（-2，-4）；
（2）①如图1， ∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴， ∴点M在DH上，MH=5， 过点G作GE⊥DH，垂足为E， 由△DHG是正三角形，可得EG=，EH=1， ∴ME=4， 设N（x，0 ）， 则NH=x-1，由△MEG∽△MHN， 得， ∴， ∴x=， ∴点N的横坐标为； ② 当点D移到与点A重合时，如图2， 直线l与DG交于点G，此时点Ｎ的横坐标最大， 过点Ｇ，Ｍ作x轴的垂线，垂足分别为点Ｑ，F， 设Ｎ（x，0）， ∵A（2，4）， ∴G（，2）， ∴NQ=，ＮF=x-1，GQ=2，MF=5， ∵△NGQ∽△NMF， ∴， ∴， ∴， 当点D移到与点B重合时，如图3， 直线l与DG交于点D，即点B， 此时点N的横坐标最小， ∵B（-2，-4）， ∴H（-2，0）， D（-2，-4）， 设N（x，0）， ∵△BHN∽△MFN， ∴， ∴， ∴， ∴点N横坐标的范围为≤x≤。	图1 图2 图3

据专家权威分析，试题“如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

• 求二次函数的解析式：
  最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
  （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
  （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
  （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
  （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
  
  二次函数的应用：
  （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
  理解题意；
  建立数学模型；
  解决题目提出的问题。
  （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
  即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
  求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

• 二次函数的三种表达形式：
  ①一般式：
  y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
  把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

  ②顶点式：
  y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
  有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
  例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
  解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
  注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
  具体可分为下面几种情况：